在物理上的自由度指描述物体空间位置所需的独立坐标数，其数值等于确定系统位置所需的最小独立变量个数。对于质点，它有三个自由度（x,y,z坐标）。但是显然我们不能用三个自由度描述刚体运动，因为它加入了转动，我们用6个自由度描述刚体运动（三个描述质心平动，三个描述绕质点的转动姿态（这里的姿态也是后续介绍的重点🥰））

坐标系间的欧式变换#

在机器人的实际使用场景中我们会定义各种各样的坐标系，例如图像坐标系、云台坐标系、相机坐标系等等。对于移动中的机器人，我们常设定一个世界坐标系，它是不动的，相对相机和机器人是移动坐标系。

现在我们有这样一个问题：对于相机视野中的某个向量 $p$ ，它在相机坐标系下的坐标为 $p_{c}$ ，而在世界坐标系下去观测它，坐标为 $p_{w}$ ，那这两个坐标是如何转换的呢？我们需要得到该点针对机器人坐标系的坐标值，然后根据机器人位姿来变换到世界坐标系中。这叫做欧式变换，也就是相机坐标系与世界坐标系之间相差了一个欧式变换。

坐标系之间的运动是一个旋转加上一个平移，也就是刚体运动。同样欧式变换由旋转和平移组成，平移就是一个向量，因此我们着重讲解旋转。

我们假设一个单位正交基 $(e_{1},e_{2},e_{3})$ 经过一次旋转变为 $(e^{'}_{1},e^{'}_{2},e^{'}_{3})$ 。对于同一个向量 $a$ ，它在两个坐标系下的坐标便为 $[a_{1},a_{2},a_{3}]^T$ 和 $[a^{'}_{1},a^{'}_{2},a^{'}_{3}]^T$ ，由于向量本身没有变化，因此有等式：

我们对上述等式的左右两边同时左乘 $[e^{T}_{1},e^{T}_{2},e^{T}_{3}]^T$ ，那么左边的系数便变成了单位矩阵，等式化为：

我们把中间的矩阵拿出来，定义为矩阵 $R$ ，这个矩阵刻画了同一个向量旋转前后的坐标转换关系，只要旋转是一样的，这个矩阵就是一样的。所以这个矩阵 $R$ 描述了旋转本身，被称作旋转矩阵。

旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵，行列式为1的正交矩阵也是旋转矩阵。我们可以定义一个 $n$ 维旋转矩阵的集合：

$SO(n)$ 是特殊正交群的意思，用来描述物体在空间的旋转。特殊地， $SO(3)$ 便是物体在三维空间的旋转。（群的知识涉及李群与李代数，我不打算详细介绍这方面的数学知识，因为这基本算是数学专业的研究生研一才学的内容，大家也只需要知道了解即可）

我们在旋转之后的坐标加上一个平移向量 $t$ ,便完整构成了欧式变换。

通过上式，我们用一个旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $t$ 来完整地描述了一个欧式空间的坐标变换关系。

但是现在还有一个问题：我们这里的变换关系不是一个线性关系，对于多次变换进行描述相对臃肿。

例如现在我们进行两次变换： $R_{1}$ , $t_{1}$ ； $R_{2}$ , $t_{2}$

那从 $a$ 到 $c$ 的变换为

这样便看起来很臃肿，不便于表达。因此我们引入齐次坐标和变换矩阵：

这相当于一个数学技巧，我们在三维向量的末尾加上了一个1,使其变为四维向量，称为齐次坐标。对于这个四维向量，我们可以把旋转和平移写入一个矩阵中，使整个关系变为线性关系，矩阵 $T$ 便称为变换矩阵。

这样两次变换的叠加可写为，变得十分简洁：

对于变换矩阵 $T$ ,它左上角是旋转矩阵 $R$ ，右上角为平移向量 $t$ ,左下角为零向量 $0$ ,右下角为1。这样的矩阵也称为特殊欧式群， $SE(3)$ 便是物体在三维空间的刚体运动：

欧拉角#

通过以上的学习，我们可以使用旋转矩阵来描述旋转，但这是否就足够了呢？矩阵描述方式主要以下几个问题：

$SO(3)$ 的旋转矩阵有九个量，而一次旋转只有三个自由度，因此这种表达方式是冗余的，能否有更紧凑的方式？
旋转矩阵自身带有约束，它必须是一个正交矩阵，且行列式为1,这使得估计和优化一个旋转矩阵变得困难
旋转矩阵这种表达方式对人类而言非常不主观

欧拉角提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角，把一个旋转分为三个绕不同轴的旋转。

由于分解方式各有不同，所以欧拉角也有众多不同、易于混淆的定义方式。而在机器人领域中，我们常使用rpy角(即roll-pitch-yaw,滚转-俯仰-偏航)来描述机器人的姿态。

可以用飞机的姿态来理解：

roll:绕飞机前后轴（机头到机尾）旋转，即歪头
pitch:绕飞机左右轴（穿过机翼的轴）旋转，即上下点头
yaw:绕飞机垂直轴（上下方向）旋转，即左右摇头

在坐标系中的定义（右手系，X轴向前，Y轴向右，Z轴向下）

roll绕X轴旋转
pitch绕Y轴旋转
yaw绕Z轴旋转

rpy角绕固定轴的旋转顺序是ZYX。

欧拉角的一个重大缺陷是万向锁问题：在pitch为 $\pm90^\circ$ 时，第一次旋转和第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度。这被称作奇异性问题，从理论上也可证明，使用三个实数来描述三维旋转，都不可避免地会遇到奇异性问题。因此欧拉角往往只用于人机交互中，我们在程序中也不会直接使用欧拉角来描述姿态。